Использование функций Чебышева первого рода для моделирования искажений - Версия для печати

+- Audio Perfection Forum (https://www.audio-perfection.com/forum)
+-- Форум Моделирование. SPICE. LTSPICE (https://www.audio-perfection.com/forum/forumdisplay.php?fid=5)
+--- Форум LTSPICE, особенности использования и LTSPICE ресурсы (https://www.audio-perfection.com/forum/forumdisplay.php?fid=7)
+--- Темы: Использование функций Чебышева первого рода для моделирования искажений (/showthread.php?tid=24)

---

Использование функций Чебышева первого рода для моделирования искажений - begemot - 04-20-2014

Собственно задача следующая. Необходима аппроксимация передаточной функции с предсказуемой и контролируемой нелинейностью. И в таком виде, что бы нелинейность было удобно задавать.

Т.е. у нас, например, есть каскад усиления. Он нелинеен и сам по себе имеет
заданные 2, 3, ...n-ную гармоники. Которые мы можем установить независимо друг от друга.
Т.е. эти функции гармоник должны быть ортогональны. В данном случае ортогональность означает независимость амплитуды одной гармоники от другой.

Для чего это может быть полезно?

Ну например мы хотим охватить такой каскад частотно зависимой ОС и посмотреть как это влияет на амплитуду каждой из гармоник. И будет ли ОС изменять частотный состав исходных гармоник. Или как поведут себя комбинационные частоты, попадающие в интересующий диапазон частот. При этом можно будет исследовать поведение комбинационных продуктов при известной аппроксимации исходной нелинейности и заданной частотной зависимости петлевого усиления.

В принципе для этого можно попробовать воспользоваться обычными степенными функциями. Это ещё как то работает для 2-ой и 3-ей степени. Но для гармоник более высоких порядков пользоваться простыми степенными функциями очень не удобно, так как при использовании 5 степени, например, возникает 3-я гармоника с амплитудой значительно большей амплитуды 5-ой, да и нормирование представляет проблему.
Т.е. простые степенные функции не ортогональны.

Для решения этой проблемы можно воспользоваться полиномами Чебышева первого рода,
одним из замечательных свойств которых является ортогональность.

При этом, если посмотреть на тригонометрическое определение, функция n-ного порядка является представлением n-ной гармоники.

   

В рекурсивном виде, это может быть представлено в следующем виде:

   

Для проверки работоспособности была создана ЛТСПАЙС модель зависимого источника с использованием Чебышевских функций.
Модель генерит 5 первых гармоник и позволяет сравнить работу обычных полиномов и полиномов на базе функций Чебышева первого рода.



При желании в модель легко добавить более высокие гармоники используя рекурсивную формулу, приведённую выше.

Немного более подробно о полиномах Чебышева - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0

---

RE: Использование функций Чебышева первого рода для моделирования искажений - begemot - 04-20-2014

Всё вроде неплохо, но...
Это нормально работает при единичной амплитуде. Как только амплитуда не равна 1-всё расползается.
Почему-понятно, степенные функции.
Здесь возникает некоторое неудобство. Для того чтоб это использовать амплитуду надо сначала нормировать, а после вычислений-денормировать.
В принципе не очень серьёзное неудобство, так как даже внутри петли ОС мы практически всегда знаем амплитуду сигнала.
Или можем её промоделировать, используя линейные источники и потом подставив эту амплитуду уже в "гармонизированный" источник.
При не очень больших гармониках, ну где-то до нескольких процентов это работает вполне нормально.
Сделать это можно примерно так как в аттаченном примере.


P.S. Кстати, а как "правильно" нормировать при комплексном входном сигнале, например при расчёте интермодуляции?

---