Попробую на пальцах вывести формулу для определения амплитудного диапазона. (следите за руками :-) )
Проделаем это сначала для сигнала прямоугольной формы со скважностью 2 и частотой Fc.
Для идеального ДСМ первого порядка, работающего в отсутствие входного сигнала и шумов характерная последовательность на выходе представляет собой чередование нулей и единиц: 101010101010… При этом, размах сигнала треугольной формы на выходе интегратора будет равен:
e = 2Umax /(R*C*Ft), где
Umax – амплитуда прямоугольного сигнала ошибки на выходе тактируемого компаратора. Она же равна амплитуде максимального сигнала, который может быть преобразован ДСМ;
R и С – сопротивление и емкость интегратора;
Ft – тактовая частота ДСМ.
Теперь мысленно скачком подадим на вход ДСМ постоянное напряжение амплитудой Uc. Постоянная составляющая пилообразного напряжения на выходе интегратора начнет меняться по линейному закону:
Uo = Uc*t / RC
Когда Uo достигнет величины e/2, чередование нулей и единиц на выходе ДСМ нарушится и он начнет отрабатывать входной сигнал.
Чем меньше Uc, тем позже наступит этот момент, но для идеального ДСМ он наступит обязательно для сколь угодно малого Uc. Таким образом, получается, что идеальный ДСМ, в отличие от идеального ДМ способен оцифровать сколь угодно малый постоянный входной сигнал. (Правда, идеальный ДМ может преобразовать сколь угодно большой постоянный входной сигнал, а в ДСМ максимальный входной сигнал ограничен амплитудой сигнала на выходе тактируемого компаратора ошибки).
Представим себе теперь, что в момент, когда Uo достигло величины e/2, входной сигнал поменялся на противоположный по знаку. Тогда, нарушения последовательности нулей и единиц на выходе ДСМ не произойдет, а Uo будет изменяться по следующему закону
Uo = e/2 – 2Uc*t/RC
Очевидно, что Uo достигнет значения -e/2 через тоже время, что и в предыдущем случае:
t = (e/2)*(RC/Uc)
Если в этот момент входной сигнал опять сменит свой знак, то сигнал на выходе ДСМ не изменится.
Таким образом, сигналы прямоугольной формы со скважностью 2, амплитудой Uc и частотой Fc и выше не будут приводить к изменениям сигнала на выходе идеального ДСМ, где
Fc = (Uc/e)/RC
Заменив «е» на выражение из первой формулы вверху, после преобразований получим простое соотношение:
Ft/Fc = 2Umax/Uc
или,
Ft = 2Fc*(Umax/Uc)
Пусть
Umax/Uc = 65536
Fc = 20000Гц
Тогда
Ft = 2.6 ГГц
Перейти к случаю синусоидального входного сигнала можно через отношение амплитуд синуса и прямоугольника равной площади под кривыми. Амплитуда синуса примерно в 1.57 больше.
Тогда для синусоидальных входных сигналов
Ft = 2.6 *1.57 = 4ГГц.
Таким образом, минимальная частота дискретизации, необходимая для того, чтобы идеальный ЛДСМ вышел из режима молчания при входном синусоидальном сигнале размахом 1/(65536*Umax ) и частотой 20кГц равна 4 ГГц.
Проделаем это сначала для сигнала прямоугольной формы со скважностью 2 и частотой Fc.
Для идеального ДСМ первого порядка, работающего в отсутствие входного сигнала и шумов характерная последовательность на выходе представляет собой чередование нулей и единиц: 101010101010… При этом, размах сигнала треугольной формы на выходе интегратора будет равен:
e = 2Umax /(R*C*Ft), где
Umax – амплитуда прямоугольного сигнала ошибки на выходе тактируемого компаратора. Она же равна амплитуде максимального сигнала, который может быть преобразован ДСМ;
R и С – сопротивление и емкость интегратора;
Ft – тактовая частота ДСМ.
Теперь мысленно скачком подадим на вход ДСМ постоянное напряжение амплитудой Uc. Постоянная составляющая пилообразного напряжения на выходе интегратора начнет меняться по линейному закону:
Uo = Uc*t / RC
Когда Uo достигнет величины e/2, чередование нулей и единиц на выходе ДСМ нарушится и он начнет отрабатывать входной сигнал.
Чем меньше Uc, тем позже наступит этот момент, но для идеального ДСМ он наступит обязательно для сколь угодно малого Uc. Таким образом, получается, что идеальный ДСМ, в отличие от идеального ДМ способен оцифровать сколь угодно малый постоянный входной сигнал. (Правда, идеальный ДМ может преобразовать сколь угодно большой постоянный входной сигнал, а в ДСМ максимальный входной сигнал ограничен амплитудой сигнала на выходе тактируемого компаратора ошибки).
Представим себе теперь, что в момент, когда Uo достигло величины e/2, входной сигнал поменялся на противоположный по знаку. Тогда, нарушения последовательности нулей и единиц на выходе ДСМ не произойдет, а Uo будет изменяться по следующему закону
Uo = e/2 – 2Uc*t/RC
Очевидно, что Uo достигнет значения -e/2 через тоже время, что и в предыдущем случае:
t = (e/2)*(RC/Uc)
Если в этот момент входной сигнал опять сменит свой знак, то сигнал на выходе ДСМ не изменится.
Таким образом, сигналы прямоугольной формы со скважностью 2, амплитудой Uc и частотой Fc и выше не будут приводить к изменениям сигнала на выходе идеального ДСМ, где
Fc = (Uc/e)/RC
Заменив «е» на выражение из первой формулы вверху, после преобразований получим простое соотношение:
Ft/Fc = 2Umax/Uc
или,
Ft = 2Fc*(Umax/Uc)
Пусть
Umax/Uc = 65536
Fc = 20000Гц
Тогда
Ft = 2.6 ГГц
Перейти к случаю синусоидального входного сигнала можно через отношение амплитуд синуса и прямоугольника равной площади под кривыми. Амплитуда синуса примерно в 1.57 больше.
Тогда для синусоидальных входных сигналов
Ft = 2.6 *1.57 = 4ГГц.
Таким образом, минимальная частота дискретизации, необходимая для того, чтобы идеальный ЛДСМ вышел из режима молчания при входном синусоидальном сигнале размахом 1/(65536*Umax ) и частотой 20кГц равна 4 ГГц.